1 基本概念 / Basic concepts
1.1 相量 / Phasor
考虑
$$
A\cos(\omega t + \theta)
$$
式中，$A$ 表示振幅，$\omega$ 表示频率，$\theta$ 表示初始相位。
对于频率固定的正弦稳态线性电路，在描述电路物理量时只需考虑振幅和相位，这样的量被称为相量（phasor = phase vector）。
(1) 比较
比较幅值大小、获取相位差
等同于：二元组（2-tuple），2 个元素所组成的序列
$$
\langle A, \theta \rangle
$$
注：对于 $n$-元组，有 $(a_1, a_2, \cdots, a_n) = (b_1, b_2, \cdots, b_n)$ 当且仅当 $a_1 = b_1, a_2 = b_2, \cdots, a_n = b_n$。
(2) 基本运算
标量乘法：（略）
加法：
$$
A_1 \cos(\omega t + \theta_1) + A_2 \cos(\omega t + \theta_2) = A_3 \cos(\omega t + \theta_3)
$$
其中，
$$
\begin{align*}
& A_3^2 = (A_1 \cos \theta_1 + A_2 \cos \theta_2)^2 + (A_1 \sin \theta_1 + A_2 \sin \theta_2)^2, \\
& \theta_3 = \arctan(\frac{A_1 \sin \theta_1 + A_2 \sin \theta_2}{A_1 \cos \theta_1 + A_2 \cos \theta_2})
\end{align*}
$$
相量是实数域上的二维向量。
注：
- 作为电工学概念，相量没有数量积（点积），不等同于二维欧式空间中的向量；相量仅有两个自由变量（或称维度），没有向量积（叉积）。
- 数量积在内积空间中成立，而内积空间是添加了额外结构的向量空间，（任意维的）欧式空间是内积空间。
- 向量积是对三维空间中的两个向量的二元运算，其结果向量不在参与运算的两个向量所在的平面上。
(3) 微分和积分
$$
\begin{align*}
\frac{\mathrm{d}(A\cos(\omega_0 t + \theta))}{\mathrm{d}t} &= A \omega_0 \cos(\omega_0 t + \theta + \frac{\pi}{2}) \\
&= \omega_0 \cdot \mathrm{j} A \cos(\omega_0 t + \theta)
\end{align*}
$$
微分运算简化成了乘法，微分方程转化为代数方程。
积分运算略。
(4) 乘法与除法
$$
\begin{align*}
A_1 \cos \theta_1 \cdot A_2 \cos \theta_2 = A_1 A_2 e^{\mathrm{j} (\theta_1 + \theta_2)} \\
\frac{A_1 \cos \theta_1}{A_2 \cos \theta_2} = \frac{A_1}{A_2} e^{\mathrm{j} (\theta_1 – \theta_2)}
\end{align*}
$$
相量与复数的运算相同，而向量空间没有乘法和除法。
总结
综上，相量与复数的各类运算均同构（isomorphic），二者在数学上等价。
$$
A\angle{\theta} \; \mapsto \; a + i \cdot b
$$
需注意，工程上一般使用有效值表示相量，即 $A\angle \theta = \sqrt{2} A \cos(\omega t + \theta)$。
1.2 阻抗与导纳 / Impedance and admittance
$$
\begin{align*}
& \dot{Z} = R + \mathrm{j} X,
\dot{Y} = G + \mathrm{j} B \\
\because \
& \dot{Y} = \dot{Z}^{-1} = \frac{1}{R + \mathrm{j} X} = \frac{R}{R^2 + X^2} + \mathrm{j} \frac{-X}{R^2 + X^2} \\
\therefore \
& G = \frac{R}{R^2 + X^2},
B = \frac{-X}{R^2 + X^2}
\end{align*}
$$
1.3 复功率 / Complex power
(1) 定义
对于 $i(t) = I_m \cos(\omega t + \theta_i), u(t) = U_m \cos(\omega t + \theta_u)$，记 $\theta = \theta_u – \theta_i$，有
$$
\begin{align*}
p(t) & = u(t)i(t) \\
& = U I \cos \theta [1 + \cos(2\omega t + 2\theta_i)] \\
& \quad – U I \sin \theta \sin(2\omega t + 2\theta_i)
\end{align*}
$$
记
$$
\begin{align*}
P & = U I \cos \theta, \\
Q & = U I \sin \theta, \\
S & = U I.
\end{align*}
$$
称 $P$ 为有功功率（单位：W），$Q$ 为无功功率（单位：Var），$S$ 为视在功率（单位：VA）。需注意，$S$ 也是标量。为了体现 $P$ 和 $Q$ 在数值上的关系，人为创造出了复功率 $\overset{\sim}{S} = P + \mathrm{j} Q$。
对于 $\dot{U} = U \angle{\theta_u}, \dot{I} = I \angle{\theta_i}$，有$\overset{\sim}{S} = \dot{U} \overset{*}{I}$。
视在功率 $S$ 是标量的乘积（在相量图中为复功率 $\overset{\sim}{S}$ 的长度），不满足基尔霍夫定律，电路中各支路的视在功率之和不等于总的视在功率（视在功率不守恒）。有功功率、无功功率和复功率均满足能量守恒定律。
变压器铭牌中所标示的额定容量是视在功率。
(2) 无功功率
具有电感性或电容性的元件与交流电源往复交换的功率。有电磁线圈的电气设备要建立磁场就要消耗无功功率。
日光灯上标注的功率指灯管和镇流器消耗的有功功率。此外，启动器也会消耗少量有功，镇流器线圈还需要一定的无功功率以建立交变磁场。（功率为 40 W 的日光灯约需 80 Var 的无功功率。）
(3) 功率因数
$$
\lambda = \frac{P}{S} = \cos \theta, \; \theta \in [-\pi, \pi]
$$
但功率因数可以是负数。对于感性无功，称功率因数滞后（lagging），或用正数表示；对于容性无功，称功率因数超前（leading），或用负数表示。
上述日光灯的功率因数约为 0.45，或写作“0.45 (滞后)”。
1.4 线电压、相电流 / Line voltage and phase current
对于三相电力设备，线电压是设备两条引出线间的电压差，线电流是设备一条引出线上通过的电流；相电压是设备内一相组件（如单相绕组）两端的电压差，相电流是设备一相组件上通过的电流。
三相系统中所用的电压和电流通常指线电压和相电流。
对于星形（Y）接线的设备，$I_\mathrm{line} = I_\mathrm{phase}, U_\mathrm{line} = \sqrt{3} U_\mathrm{phase}$；对于三角形（Δ）接线的设备，$I_\mathrm{line} = \sqrt{3} I_\mathrm{phase}, U_\mathrm{line} = U_\mathrm{phase}$。
1.5 对称分量 / Symmetrical components
使用对称分量法分析电路故障是工程上便于计算和分析的方法，对称分量不具有物理意义。
对于 PSD/BPA，稳态模型文件（DAT）中的设备电量参数是正序分量，要进行故障计算时需在暂态文件（SWI）中提供负序分量和/或零序分量。其中，负序分量可使用缺省值，零序分量需明确提供。
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