3 交流 / Alternating current (AC)
3.1 正弦交流 / Sinusoidal alternating current
$$
u(t) = u_m \sin (\omega t + \theta)
U = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} u^2 } = \frac{u_m}{\sqrt{2} }
$$
其中，$T = \frac{2\pi}{\omega}$。
相量（phasor）形式：$\dot{U} = U \angle \theta$
上述电路有：
$$
R\ i + L \frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{d} t} + \frac{1}{C} \int i\ \mathrm{d} t = U_{\mathrm{RLC}}
$$
3.2 阻抗和导纳 / Impedance and admittance
3.2.1 阻抗 / Impedance
电路中电阻、电感、电容对交流电的阻碍作用的统称。单位：Ω（欧姆）。
直角坐标形式：$R + \mathrm{j} X$
极坐标形式：$Z_m \angle \theta$
指数形式：$Z_m e^{\mathrm{j} \theta}$
式中，$R$ 表示电阻，$X$ 表示电抗（reactance）。其中，电容引起的阻碍作用为容抗（capacitive reactance），电感引起的阻碍作用为感抗（inductive reactance）。
电容器的阻抗：$Z_\mathrm{C} = \frac{1}{\mathrm{j} \omega C} = -\mathrm{j} \frac{1}{\omega C}$
电感器的阻抗：$Z_\mathrm{L} = \mathrm{j} \omega L$
3.2.2 导纳 / Admittance
阻抗的倒数。单位：S（西门子）
$$
Y = Z^{-1} = \frac{1}{R + \mathrm{j} X} = \frac{R}{R^2 + X^2} + \mathrm{j} (\frac{-X}{R^2 + X^2}) = G + \mathrm{j} B
$$
式中，$G$ 表示电导（conductance），$B$ 表示电纳（susceptance）。
3.3 正弦电路的功率 / Several kinds of power on sinusoidal AC
(1) 瞬时功率（Instantaneous power）
$$
p(t) = u(t) i(t)
$$
(2) 平均功率 / 有功功率（Active power）
$$
\begin{align}
P &= \frac{1}{T} \int_{0}^{T} p\ \mathrm{d} t \\
&= UI \cos \varphi
\end{align}
$$
单位：W（瓦特，watt）
(3) 无功功率（Reactive power）
$$
Q = UI \sin \varphi
$$
单位：var（乏，volt-ampere reactive）
当 $\varphi > 0$ 时呈感性（inductive），当 $\varphi < 0$ 时呈容性（capacitive）。
(4) 复功率（Complex power）
\begin{align}
\tilde{S} &= P + \mathrm{j} Q \\
&= UI \cos \varphi + \mathrm{j} UI \sin \varphi \\
&= UI \angle \varphi = UI \angle (\psi_u – \psi_i) \\
&= \overset{\cdot}{U} \overset{*}{I}
\end{align}
单位：VA
(5) 视在功率（Apparent power）
$$
S = UI = \sqrt{P^2 + Q^2}
$$
单位：VA
(6) 功率因数（Power factor）
$$
\lambda = \frac{P}{S} = \cos \varphi
$$
若负载呈感性，则称 $\lambda$ 滞后（lagging）；若负荷呈容性，则称 $\lambda$ 超前（leading）。
3.4 三相电路 / Three-phase circuit
3.4.1 原理 / Principles
为什么使用三相？
- 发电机使用三相；三相是能够不使用辅助设备而产生“方向确定，有启动力矩”的旋转磁场的最少相数。
- 三相系统使用 4 根线可传输 3 倍的单相电能；三相变压器比单相变压器经济。
- 三相平衡时，中线中没有电流通过。
- 更多相系统的不平衡问题更复杂。
$$
\begin{aligned}
\dot{U}_\mathrm{A} &= U \angle 0^\circ \\
\dot{U}_\mathrm{B} &= U \angle -120^\circ \\
\dot{U}_\mathrm{C} &= U \angle 120^\circ
\end{aligned}
$$
3.4.2 接线 / Configurations
星形（Y，wye，star）：$I_l = I_p,\ U_l = \sqrt{3}\ U_p$
三角形（Δ，delta）：$U_l = U_p,\ I_l = \sqrt{3}\ I_p$
导线颜色（colour codes）：
| 地线（PE） | 中线（N） | A 相 | B 相 | C 相 |
 |  |  |  |  |
3.4.3 物理量 / Physical quantities
常用量：相电流 $I_p$ 和线电压 $U_l$
三相设备的额定容量（rated capacity）（视在功率，有时为有功功率）：
$$
S = 3 S_p = 3 \frac{UI}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} UI
$$
3.5 对称分量 / Symmetrical components
正序（direct，position）分量，负序（inverse，negative）分量，零序（zero，homopolar）分量
$$
\begin{aligned}
\overset{\cdot}{U}_\mathrm{A} &= \overset{\cdot}{U}_\mathrm{A}^{+} + \overset{\cdot}{U}_\mathrm{A}^{-} + \overset{\cdot}{U}_\mathrm{A}^{0} \\
\overset{\cdot}{U}_\mathrm{B} &= \overset{\cdot}{U}_\mathrm{B}^{+} + \overset{\cdot}{U}_\mathrm{B}^{-} + \overset{\cdot}{U}_\mathrm{B}^{0} = \alpha^2 \overset{\cdot}{U}_\mathrm{A}^{+} + \alpha \overset{\cdot}{U}_\mathrm{A}^{-} + \overset{\cdot}{U}_\mathrm{A}^{0} \\
\overset{\cdot}{U}_\mathrm{C} &= \overset{\cdot}{U}_\mathrm{C}^{+} + \overset{\cdot}{U}_\mathrm{C}^{-} + \overset{\cdot}{U}_\mathrm{C}^{0} = \alpha \overset{\cdot}{U}_\mathrm{A}^{+} + \alpha^2 \overset{\cdot}{U}_\mathrm{A}^{-} + \overset{\cdot}{U}_\mathrm{A}^{0}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\overset{\cdot}{U}_\mathrm{A}^{+} &= \frac{1}{3} ( \overset{\cdot}{U}_\mathrm{A} + \alpha \overset{\cdot}{U}_\mathrm{B} + \alpha^2 \overset{\cdot}{U}_\mathrm{C} ) \\
\overset{\cdot}{U}_\mathrm{A}^{-} &= \frac{1}{3} ( \overset{\cdot}{U}_\mathrm{A} + \alpha^2 \overset{\cdot}{U}_\mathrm{B} + \alpha \overset{\cdot}{U}_\mathrm{C} ) \\
\overset{\cdot}{U}_\mathrm{A}^{0} &= \frac{1}{3} ( \overset{\cdot}{U}_\mathrm{A} + \overset{\cdot}{U}_\mathrm{B} + \overset{\cdot}{U}_\mathrm{C} )
\end{aligned}
$$
其中，$\alpha = \angle 120^\circ = e^{\mathrm{j} 120^\circ}$，$\alpha^2 = \angle 240^\circ = e^{\mathrm{j} 240^\circ}$。
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